如圖，為半圓，為半圓直徑，為半圓圓心，且，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，已知，曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)且保持的值不變.
(I)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線(xiàn)的方程；
(II)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，與所在直線(xiàn)交于點(diǎn)，，證明：為定值.

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a7/2/yqeh22.png" style="vertical-align:middle;" />的值不變，所以會(huì)想到橢圓的定義，根據(jù)橢圓的定義，需要知道的值，易知，故橢圓的基本量就能很快求出，從而求出最終橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）圓錐曲線(xiàn)與向量的綜合，最好使用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，可以根據(jù)題意設(shè)出的坐標(biāo)，利用，的關(guān)系，反求出（含）的坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得到，，可見(jiàn)是方程的兩個(gè)根，故.還可以利用聯(lián)立方程組的方法，但稍微復(fù)雜一點(diǎn)，具體過(guò)程見(jiàn)解答.
試題解析：（1）以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)且保持的值不變，而點(diǎn)也在曲線(xiàn)上，
所以，滿(mǎn)足橢圓的定義，
故曲線(xiàn)是以原點(diǎn)為中心，為焦點(diǎn)的橢圓.
則，，
所以曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）

解法一：設(shè)而不求法
設(shè)的坐標(biāo)分別為，則
，
帶入到得
化簡(jiǎn)，得
同理由，得
是方程的兩個(gè)根

解法二：聯(lián)立方程組法
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
易知點(diǎn)的坐標(biāo)為．且點(diǎn)B在橢圓C內(nèi),故過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l必與橢圓C相交．
顯然直線(xiàn)  的斜率存在，設(shè)直線(xiàn) 的斜率為 ，則直線(xiàn)  的方程是
將直線(xiàn)  的方程代入到橢圓  的方程中，消去  并整理得
．
∴，
又 ∵， 則．∴，
同理，由，∴
∴ .
考點(diǎn)：1.圓錐曲線(xiàn)的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程的求解；2.向量與圓錐曲線(xiàn)的綜合性問(wèn)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在x軸上截得弦長(zhǎng)為2，記該圓圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線(xiàn)E的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)m交曲線(xiàn)E于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作曲線(xiàn)E的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)交于點(diǎn)C，當(dāng)△ABC的面積為時(shí)，求直線(xiàn)m的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知是橢圓的右焦點(diǎn)，圓與軸交于兩點(diǎn)，是橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)，且.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線(xiàn)與的另一交點(diǎn)為，且的面積等于，求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，y軸右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比它到軸的距離大
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)為曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，若為圓的外切三角形，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,已知曲線(xiàn),曲線(xiàn),P是平面上一點(diǎn),若存在過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與都有公共點(diǎn),則稱(chēng)P為“C1—C2型點(diǎn)”.

(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C1—C2型點(diǎn)”時(shí),要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線(xiàn),試寫(xiě)出一條這樣的直線(xiàn)的方程(不要求驗(yàn)證);
(2)設(shè)直線(xiàn)與有公共點(diǎn),求證,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1—C2型點(diǎn)”;
(3)求證:圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1—C2型點(diǎn)”.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)，過(guò)軸上一點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)兩點(diǎn)。
證明，存在唯一一點(diǎn)，使得為常數(shù)，并確定點(diǎn)的坐標(biāo)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．分別過(guò)，的兩條弦，相交于點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)），且．

（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線(xiàn)，的斜率之和為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知,直線(xiàn), 動(dòng)點(diǎn)到的距離是它到定直線(xiàn)距離的倍. 設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線(xiàn)為. 
（1）求曲線(xiàn)的軌跡方程.
（2）設(shè)點(diǎn), 若直線(xiàn)為曲線(xiàn)的任意一條切線(xiàn),且點(diǎn)、到的距離分別為,試判斷是否為常數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：的右焦點(diǎn)在圓上，直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)若(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的值；

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同步練習(xí)冊(cè)答案