Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上縱坐標為p的點到焦點F的距離為3．
（Ⅰ）求拋物線方程；
（Ⅱ）若拋物線的準線與y軸交于點M，過M作直線與拋物線在第一象限的部分交于A，B兩點，其中點B在A、M兩點之間，直線AF與拋物線的另一個交點為C，求

|AB|

|AC|+8

的范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得p+

p

2

=3，由此能求出拋物線方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）設直線AB：y=k₁x-1，直線AC：y=k₂x+1，與x²=4y聯(lián)立方程組，得：
x²-4k₁x+4=0，x²-4k₂x-4=0，由△＞0，得k₁＞1，且

x1+x2=4k1 x1x2=4

，

x1+x3=4k2 x1x3=-4

，由此能求出

|AB|

|AC|+8

的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線C：x²=2py（p＞0）上縱坐標為p的點到焦點F的距離為3，
∴p+

p

2

=3，解得p=2，
∴拋物線方程為x²=4y．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
設直線AB：y=k₁x-1，直線AC：y=k₂x+1，與x²=4y聯(lián)立方程組，得：
x²-4k₁x+4=0，x²-4k₂x-4=0，
由△＞0，得k₁＞1，
且

x1+x2=4k1 x1x2=4

，

x1+x3=4k2 x1x3=-4

，
∴x₂=-x₃，結(jié)合x₁+x₃=4k₂，得x₁-x₂=4k₂，
又∵x₁+x₂=4k₁，x₁x₂=4，
由(x1+x2)2=(x1-x2)2+4x1x2，得k12=k22+1，
∴|AB|=4

k14-1

，AC=4（1+k₂²）=4k12，
∴

|AB|

|AC|+8

=

k14-1

k12+2

，設k12+2=t，t＞3，

k14-1

k12+2

=

1- 4 t + 3 t2

∈（0，1）．

點評：本題考查拋物線方和的求法，考查兩條線段的比值的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想的合理運用．