Question

若關(guān)于x的方程sin²x+cosx+m+1=0有實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A．[-

  9

  4

  ，-1]
• B．[-1，

  1

  4

  ]
• C．[0，

  1

  4

  ]
• D．[-

  9

  4

  ，0]

Answer 1

分析：由題意，可轉(zhuǎn)化方程有解的問題為求函數(shù)值域的問題，關(guān)于x的方程sin²x+cosx+m+1=0有實數(shù)解可轉(zhuǎn)化為sin²x+cosx=-m-1有解，先求出y=sin²x+cosx的值域，即可得到-m-1∈[-1，

5

4

]，由此即可得到參數(shù)m的取值范圍得出正確選項．

解答：解：關(guān)于x的方程sin²x+cosx+m+1=0有實數(shù)解可轉(zhuǎn)化為sin²x+cosx=-m-1有解
令y=sin²x+cosx=-cos²x+cosx+1=-（cosx-

1

2

）²+

5

4

又cosx∈[-1，1]，故y∈[-1，

5

4

]，即-m-1∈[-1，

5

4

]，
∴m∈[-

9

4

，0]
故選D

點評：本題考查復(fù)合三角函數(shù)的值域，解題的關(guān)鍵是將方程有解的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想及配方求值域的方法，本題有一定的綜合性，難度中等