Question

13．雙曲線的兩條漸近線為x±2y=0，則它的離心率為$\sqrt{5}或\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 由雙曲線的漸近線為y=±$\frac{1}{2}$x，則當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，即$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，即$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{a}$=2，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，焦距為2c，
則c²=a²+b²，e=$\frac{c}{a}$，
∵雙曲線的漸近線為y=±$\frac{1}{2}$x，
∴當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，即$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，即$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{a}$=2，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線的漸近線方程的意義以及雙曲線離心率的求法，考查分類討論思想，屬于中檔題