Question

函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，下列命題（　�。�
①f（0）=0；②若f（x）在[0，+∞）上有最小值為-1，則f（x）在（-∞，0]上有最大值為1；
③若f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，則f（x）在（-∞，-1]上為減函數(shù)；
④若x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x，則x＜0時(shí)，f（x）=-x²-2x其中正確命題的個(gè)數(shù)是．

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：先根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷出①對(duì)；根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱判斷出②對(duì)③錯(cuò)；通過奇函數(shù)的定義求出當(dāng)x＜0的解析式，判斷出④對(duì)．

解答：解：因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x），所以f（0）=0，
故①對(duì)；
因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以f（x）在[0，+∞）上有最小值為-1，則f（x）在（-∞，0]上有最大值為1；
故②對(duì)；
因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，則f（x）在（-∞，-1]上為增函數(shù)；
故③錯(cuò)；
對(duì)于④，設(shè)x＜0，則-x＞0，
因?yàn)閤＞0時(shí)，f（x）=x²-2x，
所以f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（x）=-x²-2x，
故④對(duì)；
所以正確的命題有①②④，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇函數(shù)的定義、考查奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．