Question

已知曲線C：

x=1+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)）和直線l：kx-y-k+1=0（k∈R）．
（1）求證：直線l與曲線C有兩個不同的交點；
（2）直線l與曲線C交于A、B兩點，當弦AB的長最小時，求實數(shù)k的值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）首先，將給定的圓的參數(shù)方程化為普通方程，然后，將給定的直線過定點（1，1），說明該點在圓內(nèi)即可；
（2）根據(jù)題意，得到直線l與曲線C交于A、B兩點，當弦AB的長最小時，此時AB⊥PC，然后，根據(jù)斜率關(guān)系求解．

解答： 解：（1）由曲線C：

x=1+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），得
（x-1）²+y²=4，圓心為C（1，0），
∵直線l：kx-y-k+1=0（k∈R）．
∴k（x-1）-y+1=0，
∴直線過定點P（1，1），
∵（1-1）²+1²=1＜4，
∴點（1，1）在圓內(nèi)，
∴直線l與曲線C有兩個不同的交點．
（2）直線l與曲線C交于A、B兩點，當弦AB的長最小時，
此時AB⊥PC，
∵直線PC的斜率不存在，故直線AB的斜率為0，
故k=0，

點評：本題重點考查了直線過定點問題、圓的參數(shù)方程等知識，屬于中檔題．