Question

已知f（x）=|log₂（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）．
（1）比較m+n與0的大�。�
（2）比較f（

m+n

m-n

）與f（

m+n

n-m

）的大�。�

Answer 1

分析：（1）由f（m）=f（n）化簡可得 mn+m+n=0，由函數(shù)的定義域知，m、n∈（-1，0]或m、n∈[0，+∞），
因?yàn)?x∈（-1，0]時(shí)，f（x）為減函數(shù)； x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）為增函數(shù)，f（m）≠f（n），
所以有-1＜m＜0，n＞0，m•n＜0，m+n=-mn＞0．
（2）根據(jù)m、n的取值范圍，化簡f（

m+n

m-n

）與f（

m+n

n-m

）的解析式，將化簡后的解析式作差變形，判斷符號，
再根據(jù)差的符號，比較出這2個(gè)式子的大�。�

解答：解：（1）∵f（m）=f（n），
∴|log₂（m+1）|=|log₂（n+1）|．
∴l(xiāng)og₂²（m+1）=log₂²（n+1）．
∴[log₂（m+1）+log₂（n+1）][log₂（m+1）-log₂（n+1）]=0，
log₂（m+1）（n+1）•log₂

m+1

n+1

=0．
∵m＜n，∴

m+1

n+1

≠1．
∴l(xiāng)og₂（m+1）（n+1）=0．
∴mn+m+n+1=1．∴mn+m+n=0．
由函數(shù)的定義域知 m、n∈（-1，0]或m、n∈[0，+∞）時(shí)，
由函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性知x∈（-1，0]時(shí)，f（x）為減函數(shù)，
x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）為增函數(shù)，f（m）≠f（n）．
∴-1＜m＜0，n＞0．∴m•n＜0．
∴m+n=-mn＞0．

（2）f（

m+n

m-n

）=|log₂

2m

m-n

|=-log₂

2m

m-n

=log₂

m-n

2m

，
f（

m+n

n-m

）=|log₂

2n

n-m

|=log₂

2n

n-m

．

m-n

2m

-

2n

n-m

=

-(m-n)2-4mn

2m(n-m)

=-

(m+n)2

2m(n-m)

＞0．
∴f（

m+n

m-n

）＞f（

m+n

n-m

）．

點(diǎn)評：本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較2個(gè)式子的大小的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．