Question

已知函數(shù)f（x）=（x³+ax²+bx+3）•e^cx，其中a、b、c∈R．
（1）當(dāng)c=1時(shí)，若x=0和x=1都是f（x）的極值點(diǎn)，試求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)c=1時(shí)，若3a+2b+7=0，且x=1不是f（x）的極值點(diǎn)，求出a和b的值；
（3）當(dāng)c=0且a²+b=10時(shí)，設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-3在點(diǎn)M（1，h（1））處的切線為l，若l在點(diǎn)M處穿過(guò)函數(shù)h（x）的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)M附近沿曲線y=h（x）運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，從l的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)y=h（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)c=1時(shí)，可得f（x）=x³+ax²+bx+3．由x=0和x=1都是f（x）的極值點(diǎn)，可得

f′(0)=0 f′(1)=0

解出a，b，再驗(yàn)證是否滿足取得極值的條件即可；解出f^′（x）＞0即可得到單調(diào)遞增區(qū)間；
（2））由f^′（1）=（3a+2b+7）e=0，而x=1不是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，則x=1必是f^′（x）=0的二重根，通過(guò)比較系數(shù)即可得出a，b．
（3）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，進(jìn)而得到切線方程．由切線l在點(diǎn)M處穿過(guò)函數(shù)h（x）的圖象，可得g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x=1，因此函數(shù)g（x）具有單調(diào)性．從g^′（x）可知具有單調(diào)遞增，故△=4a²+12（3+2a）≤0，解得a=-3．即可得出b及h（x）．

解答：解：（1）當(dāng)c=1時(shí)，f（x）=（x³+ax²+bx+3）•e^x，∴f^′（x）=[x³+（a+3）x²+（2a+b）x+（b+3）]•e^x．
∵x=0和x=1都是f（x）的極值點(diǎn)，∴

f′(0)=0 f′(1)=0

即

b+3=0 (3a+2b+7)e=0

，解得

a=- 1 3 b=-3

．
∴f′(x)=-

1

3

x(x-1)(3x+11)，經(jīng)驗(yàn)證可知：x=0或1都是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．
由f^′（x）＞0解得x＜-

11

3

，或0＜x＜1．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-

11

3

)，（0，1）；
（2）∵f^′（1）=（3a+2b+7）e=0，而x=1不是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，∴x=1必是f^′（x）=0的二重根．
令f^′（x）=（x-1）²（x+d）e^x=[x³+（a+3）x²+（2a+b）x+（b+3）]e^x，比較系數(shù)得

d-2=a+3 1-2d=2a+b d=a+3

，解得

a=- 1 5 b= 9 5

，
∴a=-

1

5

，b=

9

5

．
（3）c=0，a²+b=10時(shí)，h（x）=f（x）-3=x³+ax²+（10-a²）x，h（1）=11+a-a²．∴切點(diǎn)M（1，11+a-a²）．
∴h^′（x）=3x²+2ax+10-a²．
∴切線的斜率k=h^′（1）=13+2a-a²．
∴切線方程l：y-（11+a-a²）=（13+2a-a²）（x-1），化為y=（13+2a-a²）x-a-2．
令g（x）=h（x）-y=x³+ax²-（3+2a）x+a+2，則g^′（x）=3x²+2ax-（3+2a）．
∵切線l在點(diǎn)M處穿過(guò)函數(shù)h（x）的圖象，
∴g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x=1，因此函數(shù)g（x）具有單調(diào)性，
從g^′（x）可知具有單調(diào)遞增，∴△=4a²+12（3+2a）≤0，解得a=-3．
∴b=10-9=1．
∴h（x）=x³-3x²+x．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及非極值、切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，及其等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、推理能力和計(jì)算能力等基本技能與方法．