Question

高為

2

4

的四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為

1

．

Answer 1

分析：由正方形的性質(zhì)算出ABCD所在的平面小圓半徑為r=

2

2

．四棱錐S-ABCD的高為

2

4

，得到S在平行于ABCD所在平面且距離等于

2

4

的平面α上，由此結(jié)合球的截面圓性質(zhì)和勾股定理加以計(jì)算，即可算出底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離．

解答：解：由題意，設(shè)正方形ABCD的中心為G，可得
∵ABCD所在的圓是小圓，對(duì)角線長(zhǎng)為

2

，即小圓半徑為r=

2

2

∴點(diǎn)正方形ABCD的頂點(diǎn)在半徑R=1的同一球面上，
∴球心到小圓圓心的距離OG=

R2-r2

=

2

2

，
∵四棱錐S-ABCD的高為

2

4

，
∴點(diǎn)S與ABCD所在平面的距離等于

2

4

，
設(shè)平面α∥平面ABCD，且它們的距離等于

2

4

，平面α截球得小圓的圓心為H，
則OH=

2

2

-

2

4

=

2

4

，
∴Rt△SOH中，SH²=OS²-OH²=R²-（

2

4

）²=

7

8

，
可得SG=

SH2+GH2

=

7 8 +( 2 4 )2

=1，即底面ABCD的中心G與頂點(diǎn)S之間的距離為1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題給出四棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，求它的頂點(diǎn)到底面中心的距離．著重考查了正方形的性質(zhì)、球的截面圓性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，屬于中檔題．