Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-1）²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對于任意的x∈（0，+∞），f（x）≥ax²恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=2x（x-1）+（x-1）²=（x-1）（3x-1），利用導(dǎo)數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）對x∈（0，+∞），f（x）≥ax²可化為a≤

x(x-1)2

x2

=

(x-1)2

x

，從而令F（x）=

(x-1)2

x2

=(1-

1

x

)2，化恒成立問題為最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2x（x-1）+（x-1）²=（x-1）（3x-1），
故當(dāng)x∈（-∞，

1

3

），（1，+∞）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（

1

3

，1）時，f′（x）＜0；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，

1

3

），（1，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（

1

3

，1）；

（Ⅱ）∵x∈（0，+∞），
∴f（x）≥ax²可化為a≤

x(x-1)2

x2

=

(x-1)2

x

=x+

1

x

-2，
∵x+

1

x

≥2，當(dāng)x=

1

x

時取等號，
即x=1時，

x(x-1)2

x2

取得最小值，
∴a≤2-2=0
故a≤0．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用及恒成立問題化為最值問題的處理方法，屬于中檔題．