Question

（2012•豐臺區(qū)一模）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，側面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，PA=PD=

2

，E是BC中點，點Q在側棱PC上．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）若Q是PC中點，求二面角E-DQ-C的余弦值；
（Ⅲ）若

PQ

PC

=λ，當PA∥平面DEQ時，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明AD⊥平面POB，即可證明AD⊥PB；
（Ⅱ）證明PO⊥底面ABCD，建立空間直角坐標系，求出平面DEQ的法向量為

n1

=(1，0，0)，平面DQC的法向量

n2

=(

3

，1，-

3

)，利用向量的夾角公式，即可求得結論；
（Ⅲ）求出平面DEQ法向量為

n1

=(1-λ，0，2λ-1)，利用PA∥平面DEQ，即

PA

•

n1

=0，從而可得結論．

解答：（Ⅰ）證明：取AD中點O，連接OP，OB，BD．
因為PA=PD，所以PO⊥AD．      …（1分）
因為菱形ABCD中，∠BCD=60°，所以AB=BD，所以BO⊥AD．      …（2分）
因為BO∩PO=O，所以AD⊥平面POB，所以AD⊥PB．      …（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BO⊥AD，PO⊥AD．
因為側面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，所以PO⊥底面ABCD．     …（6分）
以O為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系O-xyz．…（7分）
則D（-1，0，0），E(-1，

3

，0)，P（0，0，1），C(-2，

3

，0)，
因為Q為PC中點，所以Q(-1，

3

2

，

1

2

)．                   …（8分）
所以

DE

=(0，

3

，0)，

DQ

=(0，

3

2

，

1

2

)，所以平面DEQ的法向量為

n1

=(1，0，0)．
因為 

DC

=(-1，

3

，0)，

DQ

=(0，

3

2

，

1

2

)，
設平面DQC的法向量為

n2

=(x，y，z)，則

DC • n2 =0 DQ • n2 =0

，∴

-x+ 3 y=0 3 2 y+ 1 2 z=0.

令x=

3

，則y=1，z=-

3

，即

n2

=(

3

，1，-

3

)．         …（9分）cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

21

7

．
由圖可知，二面角E-DQ-C為銳角，所以余弦值為

21

7

．       …（10分）
（Ⅲ）解：因為

PQ

PC

=λ，所以 

PQ

=λ

PC

，
由（Ⅱ）知

PC

=(-2，

3

，-1)，

PA

=(1，0，-1)，
若設Q（x，y，z），則

PQ

=(x，y，z-1)，
由 

PQ

=λ

PC

，得

x=-2λ y= 3 λ z=-λ+1

，
在平面DEQ中，

DE

=(0，

3

，0)，

DQ

=(x+1，y，z)=(1-2λ，

3

λ，1-λ)，
所以平面DEQ法向量為

n1

=(1-λ，0，2λ-1)，…（12分）
又因為PA∥平面DEQ，所以

PA

•

n1

=0，…（13分）
即（1-λ）+（-1）（2λ-1）=0，得λ=

2

3

．
所以，當λ=

2

3

時，PA∥平面DEQ．                         …（14分）

點評：本題考查線面垂直，考查線線垂直，考查線面平行，考查面面角，掌握線面垂直的判定方法，正確運用向量法是解題的關鍵．