【答案】
分析:①令g′(x)=0求出根,判斷兩邊的符號,求出最值
②導(dǎo)數(shù)大于零求出單增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)小于零求出單調(diào)遞減區(qū)間,注意單調(diào)區(qū)間一定在定義域內(nèi)
③不等式恒成立就是求函數(shù)的最值,注意對參數(shù)的討論
解答:解:(1)當(dāng)λ=-1時(shí),g(x)=lnx-x,(x>0)
∴
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令g′(x)=0,則x=1,
∴g(x)=lnx-x在(0,1)上單調(diào)遞增,
在(1,+∞)上單調(diào)遞減
∴g(x)
max=g(1)=-1
(2)h(x)=λx
2+2λx+lnx,
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,(x>0)
∴當(dāng)λ>0時(shí),h'(x)>0,∴函數(shù)h(x)的增區(qū)間為(0,+∞),
當(dāng)λ<0時(shí),
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,
當(dāng)
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時(shí),h′(x)<0,函數(shù)h(x)是減函數(shù);
當(dāng)
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時(shí),h′(x)>0,函數(shù)h(x)是增函數(shù).
綜上得,
當(dāng)λ>0時(shí),h(x)的增區(qū)間為(0,+∞);
當(dāng)λ<0時(shí),h(x)的增區(qū)間為
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,
減區(qū)間為
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(10分)
(3)當(dāng)x>0,
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在(0,+∞)上是減函數(shù),
此時(shí)φ′(x)的取值集合A=(λ,+∞);
當(dāng)x<0時(shí),φ′(x)=2λx+λ,
若λ>0時(shí),φ′(x)在(-∞,0)上是增函數(shù),
此時(shí)φ′(x)的取值集合B=(-∞,λ);
若λ<0時(shí),φ′(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),
此時(shí)φ′(x)的取值集合B=(λ,+∞).
對任意給定的非零實(shí)數(shù)x,
①當(dāng)x>0時(shí),∵φ′(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
則在(0,+∞)上不存在實(shí)數(shù)t(t≠x),使得φ′(x)=φ′(t),
則t∈(-∞,0),要在(-∞,0)上存在非零實(shí)數(shù)t(t≠x),
使得φ′(x)=φ′(t)成立,必定有A⊆B,∴λ<0;
②當(dāng)x<0時(shí),φ′(x)=2λx+λ在(-∞,0)時(shí)是單調(diào)函數(shù),
則t∈(0,+∞),要在(0,+∞)上存在非零實(shí)數(shù)t(t≠x),
使得φ′(x)=φ′(t)成立,必定有B⊆A,∴λ<0.
綜上得,實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(-∞,0).
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,單調(diào)性,值域,屬于難題,在高考中常出現(xiàn)在解答題中最后兩題.