Question

設(shè)x=3是函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)a＞0，g(x)=(a2+

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4

)ex．若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因?yàn)閤=3是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)得到f′（3）=0即可得到a與b的關(guān)系式；令f′（x）=0，得到函數(shù)的極值點(diǎn)，用a的范圍分兩種情況分別用極值點(diǎn)討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，得到f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域，又g(x)=(a2+

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4

)ex在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，求出g(x)=(a2+

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4

)ex的值域，最大減去最小得到關(guān)于a的不等式求出解集即可．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-[x²+（a-2）x+b-a]e^3-x，
由f′（3）=0，得-[3²+（a-2）3+b-a]e^3-3=0，即得b=-3-2a，
則f′（x）=[x²+（a-2）x-3-2a-a]e^3-x
=-[x²+（a-2）x-3-3a]e^3-x=-（x-3）（x+a+1）e^3-x．
令f′（x）=0，得x₁=3或x₂=-a-1，
由于x=3是極值點(diǎn)，
所以x+a+1≠0，那么a≠-4．
當(dāng)a＜-4時(shí)，x₂＞3=x₁，則
在區(qū)間（-∞，3）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
在區(qū)間（3，-a-1）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
在區(qū)間（-a-1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
當(dāng)a＞-4時(shí)，x₂＜3=x₁，則
在區(qū)間（-∞，-a-1）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
在區(qū)間（-a-1，3）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
在區(qū)間（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，
那么f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，
而f（0）=-（2a+3）e³＜0，f（4）=（2a+13）e^-1＞0，f（3）=a+6，
那么f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域是[-（2a+3）e³，a+6]．
又g(x)=(a2+

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4

)ex在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，
且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a²+

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4

，（a²+

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4

）e⁴]，
由于（a²+

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4

）-（a+6）=a²-a+

1

4

=（a-

1

2

）²≥0，
所以只須僅須（a²+

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4

）-（a+6）＜1且a＞0，
解得0＜a＜

3

2

．
故a的取值范圍是（0，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．