Question

已知拋物線D的頂點是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合
（1）求拋物線D的方程；
（2）已知動直線l過點P（4，0），交拋物D于A，B兩點，坐標原點O為PQPQ中點，求證∠AQP=∠BQP．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0）．由a²-b²=4-3=1，得c=1．由此能求出拋物線D的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于O為PQ之中點，故當l⊥x軸時由拋物線的對稱性知∠AQP=∠BQP，當l不垂直x軸時，設(shè)l：y=k（x-4），代入拋物線方程，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，由此能夠證明∠AQP=∠BQP．

解答： （1）解：由題意，可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0）．
由a²-b²=4-3=1，得c=1．
∴拋物線的焦點為（1，0），∴p=2．
∴拋物線D的方程為y²=4x．…
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于O為PQ之中點，故當l⊥x軸時，由拋物線的對稱性知，一定有∠AQP=∠BQP，
當l不垂直x軸時，設(shè)l：y=k（x-4），
代入拋物線方程，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，
∴x₁+x₂=

4(2k2+1)

k2

，x₁x₂=16，
∵k_AQ=

y1

x1+4

，k_BQ=

y2

x2+4

，
∴k_AQ+k_BQ=

k(2x1x2-32)

(x1+4)(x2+4)

=0，
∴∠AQP=∠BQP．
綜上證知，∠AQP=∠BQP．

點評：本題考查拋物線方程的求法，直線和拋物線的位置關(guān)系，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．