已知函數(shù)f(x)=x2-alnx(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=2e時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(e為自然對數(shù)的底數(shù))
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)當(dāng)a=2e時,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)有零點(diǎn),判斷函數(shù)極值和0的關(guān)系,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)當(dāng)a=2e時,f(x)=x2-alnx=x2-2elnx,函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞),
則f′(x)=2x-
2e
x
=
2(x+
e
)(x-
e
)
x
,
由f′(x)=
2(x+
e
)(x-
e
)
x
>0,解得x>
e
,此時函數(shù)單調(diào)遞增,
由f′(x)=
2(x+
e
)(x-
e
)
x
>0,解得0<x<
e
,此時函數(shù)單調(diào)遞減,
即函數(shù)的遞減區(qū)間為(0,
e
),函數(shù)的遞增區(qū)間為(
e
,+∞).
(Ⅱ)f′(x)=2x-
a
x
=
2x2-a
x
,x>1,
①若a≤0,則f′(x)>0,f(x)為增函數(shù),此時f(x)>f(1)=0,不可能有零點(diǎn).
②若a>0,由f′(x)=0,解得x=
a
2
或x=-
a
2
(舍掉),
a
2
≤1,即0<x≤2,此時f′(x)>0,同①不合題意,舍去.
若a>2,列x,f(x),f′(x)的變化如下表:
 x (1,
a
2
 
a
2
 (
a
2
,+∞)
 f′(x)- 0+
 f(x) 遞減極小值 遞增 
因此,當(dāng)x=
a
2
時,f(x)有極小值,且極小值為f(
a
2
)=
a
2
-aln
a
2

若函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)有零點(diǎn),
則的極小值f(x)≤0,
a
2
-aln
a
2
≤0,解得a≥2e,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍[2,+∞).
點(diǎn)評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的運(yùn)算能力.
練習(xí)冊系列答案
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圓C:x2+y2+2x-1=0和直線l:3x+4y+8=0交與A,B不同的兩點(diǎn),則三角形△ABC(C為圓心)的面積為(  )
A、1B、2C、3D、4

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若函數(shù)f(x)=對任意的實(shí)數(shù)x,均有f(x-1)+f(x+1)>2f(x),則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P.
(1)判斷函數(shù)y=x3是否具有性質(zhì)P,并說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P,且f(0)=f(n)=0(n>2,n∈N*).
①求證:對任意i∈{1,2,3,…,n-1},都有f(i)≤0;
②是否對任意x∈[0,n],均有f(x)≤0?若成立,請加以證明;若不成立,請給出反例并加以說明.

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已知橢圓C:
x2
a2
+y2
=1經(jīng)過點(diǎn)P(1,
2
2
).
(Ⅰ)求橢圓C的方程及其離心率;
(Ⅱ)過橢圓右焦點(diǎn)F的直線(不經(jīng)過點(diǎn)P)與橢圓交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)∠APB的平分線為PF時,求直線AB的斜率k.

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在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=BC=2,∠ABC=90°,點(diǎn)A1在底面ABC的投影為B,且A1B=2
3

(1)證明:平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;
(2)設(shè)P為B1C1上一點(diǎn),當(dāng)PA=
29
時,求二面角A1-AB-P的正弦值.

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已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1,x2+y2+z2
xyz
≤1恒成立,求λ的最大值.

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(2)求游戲結(jié)果時,甲累計(jì)得分為ξ,求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ.

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(3)求異面直線AB與CD所成角的大。

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已知矩陣A=
a2
73
的逆矩陣A-1=
b-2
-7a
,則ab=
 

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