Question

求證：雙曲線xy=k（k≠0）上任一點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為常數(shù)．并說明你的證明中的主要步驟（三步）．

Answer 1

證明：設曲線xy=k（k≠0）上任意一點的坐標是P（x₀，y₀），
由題意可得：xy=k可以變形為：y=

k

x

，
對函數(shù)y=

k

x

求導數(shù)可得 y′=-

k

x2

，
所以切線的方程是 y-y0=-

k

x 20

(x-x0)．
因為x₀y₀=k，可以得出切線在x軸與y軸的截距分別是x_截距=x0+-

x 20 y0

a2

=2x0，
y_截距=y0+

k

x0

=

x0y0+k

x0

=

2k

x0

，
所以根據(jù)三角形的面積公式可得：所求三角形的面積為2k，
所以雙曲線xy=k（k≠0）上任一點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為常數(shù)．