Question

已知雙曲線的中心在原點，實軸A₁A₂在x軸上，虛軸的一個端點為P．
（1）若實軸長為2，焦距為4，求雙曲線的標準方程；
（2）若∠A₁PA₂為直角，求雙曲線的離心率；
（3）若∠A₁PA₂為銳角，求雙曲線離心率的范圍．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用實軸長為2，焦距為4，可得a=1，c=2，求出b，即可求雙曲線的標準方程；
（2）若∠A₁PA₂為直角，則a=b，即可求雙曲線的離心率；
（3）若∠A₁PA₂為銳角，∠A₁PO≤30°，即可求雙曲線離心率的范圍．

解答： 解：（1）∵實軸長為2，焦距為4，
∴a=1，c=2，
∴b=

3

，
∵雙曲線的中心在原點，實軸A₁A₂在x軸上，
∴雙曲線的標準方程為x2-

y2

3

=1；
（2）∵∠A₁PA₂為直角，
∴a=b，
∴雙曲線的離心率為

2

；
（3）若∠A₁PA₂為銳角，則∠A₁PO≤30°，
∴

b

a

≥

3

，
∴e=

1+ b2 a2

≥2．

點評：本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學生的計算能力，比較基礎．