Question

如圖所示，在長方形ABCD中，AB=2BC，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE將△ADE向上折起．
（1）在線段AB上是否存在一點(diǎn)K，使BC∥平面DFK？若存在，請證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．
（2）若平面ADE⊥平面ABCE，求證：AD⊥BE．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）線段AB上存在一點(diǎn)K，且當(dāng)AK=

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時(shí)，BC∥面DFK；設(shè)H為AB的中點(diǎn)，連接EH，則BC∥EH，利用三角形的中位線定理即可證明FK∥BC，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）利用勾股定理的逆定理即可證明BE⊥AE，又面ADE⊥面ABCE，利用面面垂直的性質(zhì)可得BE⊥平面ADE，再利用面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）線段AB上存在一點(diǎn)K，且當(dāng)AK=

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4

時(shí)，BC∥面DFK，

證明如下
設(shè)H為AB的中點(diǎn)，連接EH，則BC∥EH
又∵AK=

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4

，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，
∴KF∥EH，∴KF∥BC，
∵KF?面DFK，BC?面DFK，
∴BC∥面DFK．
（II）∵在折起前的圖形中E為CD的中點(diǎn)，AB=2，BC=1，
∴在折起后的圖形中：AE=BE=

2

，
從而AE²+BE²=4=AB²
∴AE⊥BE．
∵面ADE⊥面ABCE，面ADE∩面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE，∵AD?平面ADE
∴BE⊥AD

點(diǎn)評：熟練掌握三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、勾股定理的逆定理、面面垂直的性質(zhì)和判定定理、線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵．