Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=3，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連接EF．
（1）證明：FD平分∠EFC；
（2）當(dāng)tan∠ADE=

1

3

時(shí)，求BF的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）過(guò)D作DG⊥BC于G，證明△EDF≌△CDF即可；（2）可得tan∠ADE=

AE

AD

=

1

3

，設(shè)CF=x，可得BF=8-x，在Rt△BEF中由勾股定理可得x的方程，解方程可得．

解答： （1）證明：過(guò)D作DG⊥BC于G．
由已知可得四邊形ABGD為正方形，
∵DE⊥DC．
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，
∴△ADE≌△GDC，
∴DE=DC且AE=GC．
又∵DF平分∠EDC交BC于F，
∴△EDF≌△CDF，
∴∠EFD=∠CFD，即FD平分∠EFC；
（2）∵tan∠ADE=

AE

AD

=

1

3

，
∴AE=GC=2．∴BC=8，BE=4，
設(shè)CF=x，則BF=8-CF=8-x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：x²=（8-x）²+4²，
解得x=5，∴BF=8-x=3

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等，以及勾股定理，屬基礎(chǔ)題．