是否存在常數(shù)a、b、c使等式1·(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c，對一切正整數(shù)n成立？證明你的結(jié)論．

答案：
解析：

　　解：取n＝1，2，3，得

　　下面證明1·(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝(n4－n2)對任意正整數(shù)n都成立．

　　(1)當(dāng)n＝1時，由上可知成立．

　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時等式成立，即1·(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝(k4－k2)成立，

　　則當(dāng)n＝k＋1時，1·[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝1·(k2－12)＋2·(k2－22)＋…＋1·(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)

　�。�(k4－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)

　�。�(k4－k2)＋(2k＋1)

　　＝k(k＋1)[k2－k＋4k＋2]

　�。�k(k＋1)(k2＋3k＋2)＝(k＋1)2·(k2＋2k)

　�。�(k＋1)2[(k＋1)2－1]．

　　∴當(dāng)n＝k＋1時等式成立．

　　綜上，等式恒成立．

　　思路分析：存在性問題，可通過三個等式解出a、b、c，再證對n∈N*都成立．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

是否存在常數(shù)a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）對于任意的n∈N+總成立？若存在，求出來并證明；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=2sin2x+2
3
sinxcosx，x∈[0，
π
2
]．
（1）求函數(shù)f（x）的最值，及相應(yīng)的x值；
（2）若|f（x）-a|≤2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=-2af（x）+2a+b，是否存在常數(shù)a，b∈Z，使得g（x）的值域為[-2，4]？若存在，求出相應(yīng)a，b的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在公差為d（d≠0）的等差數(shù)列{an}和公比為q的等比數(shù)列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)a，b，使得對于一切正整數(shù)n，都有an=logabn+b成立？若存在，求出常數(shù)a和b，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•河?xùn)|區(qū)一模）已知公差不為零的等差數(shù)列{xn}和等比數(shù)列{yn}中，x1=y1=1，x2=y2，x6=y3．是否存在常數(shù)a、b，使得對于一切正整數(shù)n，都有xn=logayn+b成立？如果存在，求出a和b的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•虹口區(qū)二模）已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2（
n+1n
）2an
（1）求數(shù)列{an}的通項公式
（2）設(shè)bn=（An2+Bn+C）•2n，是否存在常數(shù)A、B、C，使對一切n∈N*，均有an=bn+1-bn成立？若存在，求出常數(shù)A、B、C的值，若不存在，說明理由
（3）求證：a1+a2+…+an≤（n2-2n+2）•2n，（ n∈N*）

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