Question

【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù) 是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數(shù)且0∈R，∴f（0）=0即

∴

又由f（1）=-f（-1）知 a=2

∴f（x）=

（2）解：證明設(shè)x1,x2∈（-∞,+∞）且x1<x2

·

∵y=2x在（-∞,+∞）上為增函數(shù)且x1<x2，∴

且y=2x>0恒成立，∴

∴f（x1）-f（x2）>0 即f（x1）>f（x2）

∴f（x）在（-∞,+∞）上為減函數(shù)

∵f（x）是奇函數(shù)f（x2-x）+f（2x2-t）<0等價(jià)于f（x2-x）<-f（2x2-t）=f（-2x2+t）

又∵f（x）是減函數(shù)，∴x2-x>-2x2+t

即一切x∈R，3x2-x-t>0恒成立

∴△=1+12t<0，即t<

【解析】(1)利用奇函數(shù)的性質(zhì)f(0)=0求出b的值，根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出a的值即可。(2)由題意根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可證出f（x）在（-∞,+∞）上為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性得到關(guān)于x的一元二次不等式，利用一元二次不等式的性質(zhì)求出t的取值范圍。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集，以及對(duì)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的理解，了解在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．