Question

給出下列五個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)；
②若f′（x₀）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取得極值；
③若m≥-1，則函數(shù)y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域?yàn)镽；
④滿足條件AC=

3

，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有兩個(gè)；
⑤函數(shù)y=（1+x）的圖象與函數(shù)y=（1-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是

①③⑤

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得①正確．
根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)舉反例可得②不正確．
根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)可取遍所有的正實(shí)數(shù)，可得此對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽，故③正確．
根據(jù)正弦定理解△ABC，可判斷④的真假；
根據(jù)函數(shù)y=f（1+x）的圖象與函數(shù)y=f（l-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，不一定關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故⑤正確．

解答：解：對(duì)于函數(shù)f（x）=lnx-2+x，在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞增，f（1）=-1，f（e）=e-1＞0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理
可得，在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)，故①正確．
②不正確，如當(dāng)f（x）=x³時(shí)，顯然滿足f′（0）=0，但y=f（x）=x³ 在x=0處沒(méi)有極值．
③當(dāng) m≥-1，函數(shù)y=log

1

2

（x2-2x-m）的真數(shù)為 x²-2x-m，判別式△=4+4m≥0，故真數(shù)可取遍所有的正實(shí)數(shù)，
故函數(shù)y=log

1

2

（x2-2x-m）的值域?yàn)镽，故③正確．
④∵AB＜AC，由正弦定理解三角形解的個(gè)數(shù)判斷，可得滿足條件三角形△ABC只有一個(gè)，故④錯(cuò)誤；
⑤由于函數(shù)y=f（1+x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的解析式為y=f（1-x），故⑤正確．
故答案為 ①③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查命題的真假的判斷，通過(guò)舉反例來(lái)說(shuō)明某個(gè)命題不正確，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題．