已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{
Sn+1
}
是公比為2的等比數(shù)列.
(1)證明:數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件是a1=3;
(2)設(shè)bn=5n-(-1)nan(n∈N*).若bn<bn+1對(duì)n∈N*恒成立,求a1的取值范圍.
分析:(1)由題設(shè)知Sn+1=(a1+1)•4n-1an=
a1,n=1
3(a1+1)•4n-2,n≥2
.先證明充分性:當(dāng)a1=3時(shí),
a2
a1
=4
,所以對(duì)n∈N*,都有
an+1
an
=4
,即數(shù)列{an}是等比數(shù)列.再證明必要性:因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,所以
a2
a1
=4
,即
3(a1+1)
a1
=4
,解得a1=3.
(2)當(dāng)n=1時(shí),b1=5+a1;當(dāng)n≥2時(shí),bn=5n-(-1)n×3(a1+1)×4n-2(a1>-1).當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),15(a1+1)×4n-2>-4×5n恒成立.故a1∈(-1,+∞).當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),b1<b2且bn<bn+1(n≥3)恒成立.5+a1<25-3(a1+1),得a1
17
4
.由此入手能夠得到a1的取值范圍.
解答:解:(1)因?yàn)閿?shù)列{
Sn+1
}
是公比為2的等比數(shù)列,
所以
Sn+1
=
S1+1
2n-1
,
即Sn+1=(a1+1)•4n-1
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">an=
a1,n=1
Sn-Sn-1,n≥2
所以an=
a1,n=1
3(a1+1)•4n-2,n≥2

顯然,當(dāng)n≥2時(shí),
an+1
an
=4

①充分性:當(dāng)a1=3時(shí),
a2
a1
=4
,所以對(duì)n∈N*,都有
an+1
an
=4
,即數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
②必要性:因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,所以
a2
a1
=4
,即
3(a1+1)
a1
=4
,解得a1=3.
(2)當(dāng)n=1時(shí),b1=5+a1;當(dāng)n≥2時(shí),bn=5n-(-1)n×3(a1+1)×4n-2(a1>-1).
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),5n-3(a1+1)×4n-2<5n+1+3(a1+1)×4n-1恒成立.
即15(a1+1)×4n-2>-4×5n恒成立.故a1∈(-1,+∞).
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),b1<b2且bn<bn+1(n≥3)恒成立.
由b1<b2知,5+a1<25-3(a1+1),得a1
17
4

由bn<bn+1對(duì)n≥3的奇數(shù)恒成立,知5n+3(a1+1)×4n-2<5n+1-3(a1+1)×4n-1恒成立,
即15(a1+1)×4n-2<4×5n恒成立,所以a1+1<
20
3
(
5
4
)n-2
恒成立.
因?yàn)楫?dāng)對(duì)n≥3的奇數(shù)時(shí),
20
3
(
5
4
)n-2
的最小值為
25
3
,所以a1
22
3

又因?yàn)?span id="c2ycwgm" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
17
4
22
3
,故-1<a1
17
4

綜上所述,bn<bn+1對(duì)n∈N*恒成立時(shí),a1∈(-1,
17
4
)
點(diǎn)評(píng):本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),解題時(shí)感受知識(shí)點(diǎn)的有效組合,注意積累解題方法.
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