Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{

Sn+1

}是公比為2的等比數(shù)列．
（1）證明：數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列的充要條件是a₁=3；
（2）設(shè)b_n=5ⁿ-（-1）ⁿa_n（n∈N^*）．若b_n＜b_n+1對(duì)n∈N^*恒成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知S_n+1=（a₁+1）•4^n-1．an=

a1，n=1 3(a1+1)•4n-2，n≥2

．先證明充分性：當(dāng)a₁=3時(shí)，

a2

a1

=4，所以對(duì)n∈N^*，都有

an+1

an

=4，即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．再證明必要性：因?yàn)閧a_n}是等比數(shù)列，所以

a2

a1

=4，即

3(a1+1)

a1

=4，解得a₁=3．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=5+a₁；當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=5ⁿ-（-1）ⁿ×3（a₁+1）×4^n-2（a₁＞-1）．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，15（a₁+1）×4^n-2＞-4×5ⁿ恒成立．故a₁∈（-1，+∞）．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b₁＜b₂且b_n＜b_n+1（n≥3）恒成立．5+a₁＜25-3（a₁+1），得a1＜

17

4

．由此入手能夠得到a₁的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)閿?shù)列{

Sn+1

}是公比為2的等比數(shù)列，
所以

Sn+1

=

S1+1

•2n-1，
即S_n+1=（a₁+1）•4^n-1．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">an=

a1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

所以an=

a1，n=1 3(a1+1)•4n-2，n≥2

顯然，當(dāng)n≥2時(shí)，

an+1

an

=4．
①充分性：當(dāng)a₁=3時(shí)，

a2

a1

=4，所以對(duì)n∈N^*，都有

an+1

an

=4，即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
②必要性：因?yàn)閧a_n}是等比數(shù)列，所以

a2

a1

=4，即

3(a1+1)

a1

=4，解得a₁=3．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=5+a₁；當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=5ⁿ-（-1）ⁿ×3（a₁+1）×4^n-2（a₁＞-1）．
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，5ⁿ-3（a₁+1）×4^n-2＜5ⁿ⁺¹+3（a₁+1）×4^n-1恒成立．
即15（a₁+1）×4^n-2＞-4×5ⁿ恒成立．故a₁∈（-1，+∞）．
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b₁＜b₂且b_n＜b_n+1（n≥3）恒成立．
由b₁＜b₂知，5+a₁＜25-3（a₁+1），得a1＜

17

4

．
由b_n＜b_n+1對(duì)n≥3的奇數(shù)恒成立，知5ⁿ+3（a₁+1）×4^n-2＜5ⁿ⁺¹-3（a₁+1）×4^n-1恒成立，
即15（a₁+1）×4^n-2＜4×5ⁿ恒成立，所以a1+1＜

20

3

(

5

4

)n-2恒成立．
因?yàn)楫?dāng)對(duì)n≥3的奇數(shù)時(shí)，

20

3

(

5

4

)n-2的最小值為

25

3

，所以a1＜

22

3

．
又因?yàn)?span id="c2ycwgm" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

17

4

＜

22

3

，故-1＜a1＜

17

4

．
綜上所述，b_n＜b_n+1對(duì)n∈N^*恒成立時(shí)，a1∈(-1，

17

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，解題時(shí)感受知識(shí)點(diǎn)的有效組合，注意積累解題方法．