Question

已知函數(shù)f(x)=x-

1

x

-alnx
（1）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與圓x²+y²-2y=0相切，求a的值；
（2）當x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）的圖象恒在坐標軸x軸的上方，試求出a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義求得函數(shù)的曲線的切線斜率，寫出切線方程，由切線與圓相切求得a；
（2）由f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

=

x2-ax+1

x2

，由題意得，只需當x∈（1，+∞）時，f（x）＞0恒成立．
設g（x）=x²-ax+1，利用導數(shù)判斷函數(shù)g（x）的單調性，進而得出結論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f(x)=x-

1

x

-alnx，
∴f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

，∴f′（1）=2-a，又f（1）=0，
∴函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線的切線方程為y-0=（2-a）（x-1），
即（2-a）x-y+a-2=0，
又圓x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1，故圓心（0，1），半徑為1，
∴由函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與圓x²+y²-2y=0相切得，

|-1+a-2|

(2-a)2+(-1)2

=1，即（a-3）²=（2-a）²+1，解得a=2．
（2）∵函數(shù)f(x)=x-

1

x

-alnx，∴函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
又f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

=

x2-ax+1

x2

，
∴由題意得，只需當x∈（1，+∞）時，f（x）＞0恒成立．
設g（x）=x²-ax+1，則△=a²-4，
∴當-2≤a≤2時，△＜0，當x＞0時，g（x）≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
∴x＞1時，f（x）＞f（1）=0，
當a＜-2時，函數(shù)g（x）的對稱軸為x=

a

2

＜-1，則g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
當x≥1時，g（x）≥g（1）=2-a＞0，
即f′（x）＞0恒成立，故f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
∴x＞1時，f（x）＞f（1）=0，
當a＞2時，函數(shù)g（x）的對稱軸為x=

a

2

＞1，g（x）在[1，

a

2

]是減函數(shù)，g（x）＜g（1）=2-a＜0，
故f′（x）＜0，∴f（x）在[1，

a

2

]上是減函數(shù)；
∴當1＜a＜

a

2

時，f（x）＜f（1）=0與當x＞1時，f（x）＞0矛盾，
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，-2]．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的切線方程與判斷函數(shù)的單調性、求最值等知識，考查等價轉化思想、分類討論思想的運用能力，綜合性強，屬難題．