Question

已知橢圓C以F₁（-2，0）、F₂（2，0）為焦點，且經(jīng)過點（-

5

2

，

3

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l過點P，且直線方向向量為

m

（3，3），一組直線：l₁，l₂，…，l_n，…，l_2n（n∈N^*）都與直線l平行，且與橢圓C均有交點，它們到直線l的距離依次為d，2d，…，nd，…，2nd（d＞0），直線l_n恰好過橢圓C的中心，試用n表示d的關系式，并寫出直線l_i（i=1，2，…，2n）的方程（用n，l表示）．
（3）在（2）的條件下，當i=5時，直線l₅與橢圓C相交于A、B兩點，若AB=

3 10

2

，求n的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出2a=|PF₁|+|PF₂|=2

10

，c=2，由此能求出橢圓C的方程．
（2）直線l的方程為x-y+4=0．直線l_n的方程為x-y=0，由題意知直線l_n到直線l的距離為nd，設直線l_i（i=1，2，…，2n）的方程為x-y+c_i=0，它們與橢圓C：

x2

10

+

y2

6

=1相交，消去y，得8x2+10cix+5ci2-30=0，由此能求出直線l_i（i=1，2，…，2n）的方程．
（3）由題意知l5：x-y+4(1-

5

n

)=0，由

x-y+4(1- 5 n )=0 x2 10 + y2 6 =1

，得4x2+20(1-

5

n

)x+40(1-

5

n

)2-15=0，由此能求出n=10．

解答： 解：（1）∵橢圓C以F₁（-2，0）、F₂（2，0）為焦點，且經(jīng)過點（-

5

2

，

3

2

），
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=2

10

，解得a=

10

，
∵c=2，∴b²=10-4=6，
∴橢圓C的方程

x2

10

+

y2

6

=1．
（2）∵直線l的方程為

x+ 5 2

3

=

y- 3 2

3

，整理，得x-y+4=0．
直線l_n∥l且過橢圓的中心，∴直線l_n的方程為x-y=0，
由題意知直線l_n到直線l的距離為nd，
即

4

2

=nd，∴d=

2 2

n

，n∈N^*，
設直線l_i（i=1，2，…，2n）的方程為x-y+c_i=0，
它們與橢圓C：

x2

10

+

y2

6

=1相交，消去y，得8x2+10cix+5ci2-30=0，
△=100ci2-32(5ci2-30)＞0，解得-4＜c_i＜4，
由題意知：直線l_i（i=1，2，…，2n）到l的距離為id，
∴ci=4-

2

×

2 2

n

i=4(1-

i

n

)，
∴直線l_i（i=1，2，…，2n）的方程為x-y+4（1-

i

n

）=0．
（3）由題意知l5：x-y+4(1-

5

n

)=0，
由

x-y+4(1- 5 n )=0 x2 10 + y2 6 =1

，得4x2+20(1-

5

n

)x+40(1-

5

n

)2-15=0，
設直線l₅與橢圓C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-5(1-

5

n

)，x1x2=10(1-

5

n

)2-

15

4

，
∴1-(1-

5

n

)2=

3

4

，解得n=10，或n=-10（舍），
經(jīng)檢驗，n=10．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查n的求法，解題時要認真審題，注意點到直線距離公式的合理運用．