Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若的值域為，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)的圖象，進而可作出函數(shù)的圖象，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

（Ⅱ）先證明出，然后分和，分別證明出當時，和當時，，由此可得出實數(shù)的取值范圍.

（Ⅰ）當時，，則，令，得.

列表如下：

		極小值

當時，；當時，.

作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由于，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（Ⅱ）由題意可知，方程必有解，又，即有解，

設，則.

當或時，；當或時，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，且，，

作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當或時，即當或時，方程有解，

下面證明當且時，；當且時，.

先證，設，則.

當時，；當時，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

所以，.

①當時，若時，則，且函數(shù)連續(xù)，

當時，，則，

此時，函數(shù)的值域為；

當時，若時，，

當時，，當時，，，

又因為函數(shù)連續(xù)，則.

此時，函數(shù)的值域為.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.