Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．點(diǎn)M是棱C₁B₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)AC₁∥平面BMN時(shí)，確定點(diǎn)M點(diǎn)在棱C₁B₁上的位置；
（2）在（1）的條件下，求二面角B₁-BM-N的平面角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）點(diǎn)M滿足C₁M=

1

2

MB₁，AC₁∥平面BMN，證明OM∥AC₁，由線面垂直的判定定理，得到答案．
（2）利用面積射影法求出二面角B₁-BM-N的平面角的余弦值，即可求出二面角B₁-BM-N的平面角的正切值．

解答： 解：（1）點(diǎn)M滿足C₁M=

1

2

MB₁，AC₁∥平面BMN，
由三視圖可知，四邊形ABB₁N為直角梯形，∴AN∥BB₁且AO=

1

2

OB₁，
∵C₁M=

1

2

MB₁，∴OM∥AC₁，
又OM?平面BMN，AC₁?平面BMN，∴AC₁∥平面BMN；
（2）S△B1BM=

1

2

×2×

2

3

=

2

3

，
△BMN中，BM=

4+ 4 9

=

2 10

3

，BN=

2

，MN=

2+ 4 9

=

22

3

，
∴BN²+MN²=BM²，
∴S_△BMN=

1

2

×

2

×

22

3

=

11

3

，
設(shè)二面角B₁-BM-N的平面角為α，則cosα=

2

11

，∴tanα=

7

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行關(guān)系，及二面角的平面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、抽象概括能力和運(yùn)算求解能力．其中根據(jù)已知三視圖分析出幾何體的形狀及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．