Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，F(xiàn)₁F₂是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是這個(gè)橢圓上任意一點(diǎn)，那么當(dāng)|PF₁|•|PF₂|取最大值時(shí)，P、F₁、F₂三點(diǎn)（　　）

A．共線

B．組成一個(gè)正三角形

C．組成一個(gè)等腰直角三角形

D．組成一個(gè)銳角三角形

Answer 1

分析：結(jié)合題意，利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：∵橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1，P是這個(gè)橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，
∴2a=4，c=1，
∴|PF₁|•|PF₂|≤(

|PF1|+|PF2|

2

)2=4，當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|=2時(shí)取等號(hào)．
此時(shí)，點(diǎn)P為該橢圓與y軸的交點(diǎn)，
∵2a=4，c=1，b=

3

∴|PF₁|=|PF₂|=2=|F₁F₂|，
∴P、F₁、F₂三點(diǎn)組成一個(gè)正三角形．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，著重考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．