Question

已知正項數(shù)列{a_n}，若對于任意正整數(shù)p、q均有a_p•a_q=2^p+q成立．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_p•a_q=2^p+q，令p=q=n即得結論；
（Ⅱ）利用錯位相減法求和即可．

解答： 解（Ⅰ）由已知，令p=q=n可得an•an=22n，------（2分）
因為a_n＞0，所以an=2n．------（5分）
（Ⅱ）bn=nan=n•2n，------（6分）
Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)2n-1+n•2n，①
2Sn=1•22+2•23+3•24+…+(n-1)2n+n•2n+1，②
由①-②得：-Sn=1•21+22+23+…+2n-n•2n+1，------（8分）
即：-Sn=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1．------（10分）
整理可得：Sn=(n-1)•2n+1+2．------（12分）

點評：本題主要考查賦值法求數(shù)列通項公式及利用錯位相減法求數(shù)列的和，考查學生的運算能力，屬常規(guī)題．