已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(Ⅲ)求證:(
,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
提示:
(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減區(qū)間為
;(Ⅱ)實(shí)數(shù)a的取值范圍是
;(Ⅲ)詳見解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間,即判斷
在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào),只需對(duì)
求導(dǎo)即可;(Ⅱ)當(dāng)
時(shí),不等式
恒成立,即
恒成立,令
(
),只需求出
最大值,讓最大值小于等于零即可,可利用導(dǎo)數(shù)求最值,從而求出
的取值范圍;(Ⅲ)要證
(
成立,即證
,即證
,由(Ⅱ)可知當(dāng)
時(shí),
在
上恒成立,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102423541036525821/SYS201310242354561015619859_DA.files/image020.png">,從而證出.
試題解析:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
(
),
(
),
由解得
,由
解得
,故函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減區(qū)間為
;
(Ⅱ)因當(dāng)時(shí),不等式
恒成立,即
恒成立,設(shè)
(
),只需
即可.由
,
(�。┊�(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,故
成立;
(ⅱ)當(dāng)時(shí),由
,因
,所以
,①若
,即
時(shí),在區(qū)間
上,
,則函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,
在
上無最大值(或:當(dāng)
時(shí),
),此時(shí)不滿足條件;②若
,即
時(shí),函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,在區(qū)間
上單調(diào)遞增,同樣
在
上無最大值,不滿足條件 ;
(ⅲ)當(dāng)時(shí),由
,∵
,∴
,
∴,故函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,故
成立.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
(Ⅲ)據(jù)(Ⅱ)知當(dāng)時(shí),
在
上恒成立,又
,
∵
,∴
.
考點(diǎn):1、利用導(dǎo)數(shù)的求單調(diào)區(qū)間, 2、利用導(dǎo)數(shù)求最值, 3、拆項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù),其中
(1) 當(dāng)滿足什么條件時(shí),
取得極值?
(2) 已知,且
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,試用
表示出
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)
.
(1)當(dāng)a=3時(shí),求f(x)的零點(diǎn);
(2)求函數(shù)y=f (x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年廣東省深圳市寶安區(qū)高三上學(xué)期調(diào)研考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù),
.
(1)當(dāng)為何值時(shí),
取得最大值,并求出其最大值;
(2)若,
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年福建省高三5月高考三輪模擬文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù),
(1)當(dāng)且
時(shí),證明:對(duì)
,
;
(2)若,且
存在單調(diào)遞減區(qū)間,求
的取值范圍;
(3)數(shù)列,若存在常數(shù)
,
,都有
,則稱數(shù)列
有上界。已知
,試判斷數(shù)列
是否有上界.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江西省高三第三次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù) ,
.
(1)當(dāng) 時(shí),求函數(shù)
的最小值;
(2)當(dāng) 時(shí),討論函數(shù)
的單調(diào)性;
(3)是否存在實(shí)數(shù),對(duì)任意的
,且
,有
,恒成立,若存在求出
的取值范圍,若不存在,說明理由。
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