Question

已知圓M：（x+1）²+y²=

1

8

，圓N：（x-1）²+y²=

49

8

，動(dòng)圓P與兩圓均相切，圓心P的軌跡為曲線G，直線l₁：y=k₁x+m₁與曲線G交于A、C兩點(diǎn)，直線l₂：y=k₂x+m₂與曲線G交于B、D兩點(diǎn)．
（1）求曲線G的方程；
（2）若四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,軌跡方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）易得動(dòng)圓P與圓M外切，并內(nèi)切于圓N，設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，則PM=

2

4

+r，PN=

7 2

4

-r，由橢圓的定義即可得到曲線G的方程；
（2）聯(lián)立橢圓方程和直線方程，消去y得到x的方程，由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到AC，BD的中點(diǎn)，由四邊形ABCD為菱形，則中點(diǎn)重合，得到菱形的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，再聯(lián)立橢圓方程和直線方程，解出頂點(diǎn)坐標(biāo)求出OA，OB的長(zhǎng)，由菱形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用基本不等式，即可求出最小值．

解答： 解：（1）易得動(dòng)圓P與圓M外切，并內(nèi)切于圓N，
設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，則PM=

2

4

+r，PN=

7 2

4

-r，
PM+PN=2

2

＞MN，
故點(diǎn)P的軌跡為以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=2

2

，2c=1，即a=

2

，c=1，b=1，
即曲線G的方程為

x2

2

+y²=1．
（2）聯(lián)立方程

x2

2

+y²=1．和l₁：y=k₁x+m₁，消去y得，x_A，x_C是方程（2k₁²+1）x²+4k₁m₁x+2m₁²-2=0的兩根，
∴△=8（2k₁²+1-m₁²）＞0，x_A+x_C=-

4k1m1

2k12+1

，
∴AC中點(diǎn)為（-

2k1m1

2k12+1

，

m1

2k12+1

），同理可得BD的中點(diǎn)為（-

2k2m2

2k22+1

，

m2

2k22+1

）
∵四邊形ABCD為菱形，∴中點(diǎn)重合，即

2k1m1

2k12+1

=

2k2m2

2k22+1

，且

m1

2k12+1

=

m2

2k22+1

，
∵k₁≠k₂，∴m₁=m₂=0，即菱形的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，
聯(lián)立方程

x2

2

+y²=1．和l₁：y=k₁x，消去y得，x²=

2

2k12+1

即x_A²=x_C²=

2

2k12+1

故OA=OC=

1+k12

2 2k12+1

，同理OB=OD=

1+k22

•

2 2k22+1

，
又AC⊥BD，k₁k₂=-1，則OB=OD=

1+ 1 k12

2 2 k12 +1

∴菱形ABCD的面積S=2OA•OB=2

1+k12

2 2k12+1

•

1+ 1 k12

2 2 k12 +1

=4

2+k12+ 1 k12

5+2k12+ 2 k12

=

4

2+ 1 2+k12+ 1 k12

≥

4

2+ 1 2+2

=

8

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)k₁=±1，菱形ABCD面積的最小值為

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓的位置關(guān)系：相切，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，及聯(lián)立方程，消去一個(gè)變量，運(yùn)用韋達(dá)定理，及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，同時(shí)考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，是一道綜合題．