Question

（2012•綏化模擬）已知函數(shù)f(x)=a(x+

1

x

)+2lnx，g（x）=x²．
（1）若a=

1

2

，時(shí)，直線l與函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖象相切于同一點(diǎn)，求切線l的方程
（2）若f（x）在[2，4]內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）求出其導(dǎo)函數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，兩次求出的斜率相等列出關(guān)于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的方程，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)得出的切點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)由f（x）求出其導(dǎo)函數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和切線過原點(diǎn)寫出切線方程即可．
（2）通過解f′（x），求其單調(diào)區(qū)間，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，由題意可得，f′（x）=

1

2

（1-

1

x2

）+

2

x

=

x2+4x-1

2x2

，g′（x）=2x，
又直線L與函數(shù)f（x），g（x）的圖象相切于同一點(diǎn)，
∴

x2+4x-1

2x2

=2x，（4分）
解得x=1，x=

1

4

，（x=-1舍去），
此時(shí)，f（1）=g（1）=1，而f（

1

4

）=

17

8

+2ln

1

4

≠g（

1

4

）=

1

16

，切線的斜率k=2
∴切點(diǎn)為（1，1），則切線L的方程為：y=2x-1．（6分）
（2）∵f′（x）=a（1-

1

x2

）+

2

x

=

ax2+2x-a

x2

，
要使f（x）在[2，4]為單調(diào)增函數(shù)，須f′（x）≥0在[2，4]恒成立，
即

ax2+2x-a

x2

≥0在[2，4]恒成立，即ax²+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
a（x²-1）≥-2x，即a≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

（2≤x≤4），（8分）
設(shè)u（x）=

1

x

-x（2≤x≤4），因?yàn)閡′（x）=-

1

x2

-1＜0，所以u(píng)（x）在[2，4]上單調(diào)遞減．
∴-

8

15

≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

≥-

4

3

，
所以當(dāng)a≥-

8

15

時(shí)，f（x）在[2，4]為單調(diào)增函數(shù)；（10分）
同理要使f（x）為單調(diào)減函數(shù)，須f′（x）≤0在[2，4]恒成立，易得a≤-

4

3

，
綜上，若f（x）在[2，4]為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（-∞，-

4

3

]或[-

8

15

，+∞）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍問題的常見解法；設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，若f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，則可得f′（x）≥0，從而建立了關(guān)于待求參數(shù)的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，，則可得f′（x）≤0．