Question

如圖，A，B是焦點(diǎn)為F的拋物線y²=4x上的兩動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在定直線x=t（t＞0）上．
（Ⅰ）求|FA|+|FB|的值；
（Ⅱ）求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義及線段AB的中點(diǎn)M在定直線x=t （t＞0）上，可求|FA|+|FB|的值；
（Ⅱ）利用|AF|+|BF|≥|AB|，當(dāng)A，F(xiàn)，B三點(diǎn)成一線時(shí)取“=”，可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（1，0），準(zhǔn)線方程是x=-1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
∴|FA|+|FB|=x₁+x₂+2
∵線段AB的中點(diǎn)M在定直線x=t （t＞0）上
∴x₁+x₂+=2t，
∴|FA|+|FB|=2t+2；
（Ⅱ）∵|AF|+|BF|≥|AB|，當(dāng)A，F(xiàn)，B三點(diǎn)成一線時(shí)取“=”
∴|AB|的最大值是2t+2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力