Question

3．在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與DE所成的角是（　�。�

• A． 90°
• B． 60°
• C． 45°
• D． 30°

Answer 1

分析 由條件看出DA，DC，DP三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)DA=1，這樣便可求出A，P，D，E的坐標(biāo)，從而求出向量$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{DE}$的坐標(biāo)，進(jìn)而求出cos$＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{DE}＞$的值，從而求出異面直線PA，DE所成的角．

解答 解：如圖，根據(jù)條件，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)DA=1，則：
DC=DP=1；
A（1，0，0），P（0，0，1），D（0，0，0），
C（0，1，0），E（$0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）；
∴$\overrightarrow{PA}=（1，0，-1），\overrightarrow{DE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$；
∴$|\overrightarrow{PA}|=\sqrt{2}，|\overrightarrow{DE}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{DE}＞=\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{DE}$的夾角為120°；
∴異面直線PA與DE所成的角是60°．
故選B．

點(diǎn)評 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)，利用向量求異面直線所成角的方法，向量坐標(biāo)的數(shù)量積的運(yùn)算．