設(shè)Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*)，f(n)=S2n+1-Sn+1.
（1）證明：f（n+1）＞f（n），
（2）求實數(shù)m的取值范圍，使n＞1且n∈N*，f(n)＞[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2恒成立．
分析：（1）由題意可知f(n+1)-f(n)=
1
2n+2
+
1
2n+3
-
1
n+2
=(
1
2n+2
-
1
2n+4
)+(
1
2n+2
-
1
2n+4
)  ＞0，由此可以得到f（n+1）＞f（n）．
（2）由f（x）是關(guān)于n的增函數(shù)，可知f(x)min=f(2)=
1
2+2
+
1
2+3
=
9
20
．要使n＞1且n∈N*，f(n)＞[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2恒成立．只要
9
20
＞[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2成立即可．由此入手能夠推導(dǎo)出實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）∵Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*)，f(n)=S2n+1-Sn+1.
∴f(n)=
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+1
，
∵f(n+1)-f(n)=
1
2n+2
+
1
2n+3
-
1
n+2
=(
1
2n+2
-
1
2n+4
)+(
1
2n+2
-
1
2n+4
)  ＞0，
∴f（n+1）＞f（n）．
（2）∵f（n+1）＞f（n），∴f（x）是關(guān)于n的增函數(shù)，
∴f(x)min=f(2)=
1
2+2
+
1
2+3
=
9
20
．
∴要使n＞1且n∈N*，f(n)＞[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2恒成立．
只要
9
20
＞[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2成立即可．
由
m＞0，m≠1
m-1＞0，m-1≠1
得m＞1且m≠2．
設(shè)[logm（m-1）]2=t，則t＞0，
∴
9
20
＞t-
11
20
t＞0
，∴0＜t＜1．
∴0＜[logm（m-1）]2＜1，
解得m＞
1+
5
2
，且m≠2．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運用，解題時要注意挖掘隱含條件，認真審題，細心解答．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}的公比為q，Sn是{an}的前n項和．
（1）若a1=1，q≥1，求
lim
n→∞
an
Sn
的值；
（2）若a1=1，|q|＜1，Sn有無最值？并說明理由．
（3）設(shè)q=
1
t
，若首項a1和t都是正整數(shù)，t滿足不等式：|t-63|＜62，且對于任意正整數(shù)n有9＜Sn＜12成立，問：這樣的數(shù)列{an}有幾個？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
，設(shè)Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)，n∈N*，且n≥2．
（1）求Sn；
（2）已知a1=
2
3
，an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，（n≥2，n∈N*），數(shù)列{an}的前n項和為Tn，若Tn＜λ（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，求λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上的任意兩點，點M(
1
2
，y0)為線段AB的中點．
（1）求：y0的值．
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-2
n
)+f(
n-1
n
)，  (n≥2，且n∈N*)，求：Sn．
（3）在 （2）的條件下，已知an=
2
3
                     (n=1) 
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
 (n≥2)
，記Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若Tn＜λ（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，求：λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+an（x-1）n（n≥2，n∈N*）
（1）當(dāng)n=5時，求a2的值．
（2）設(shè)Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
a0-1
，求證：
n
2
＜Sn≤n，n∈N*．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案