設(shè)Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*),f(n)=S2n+1-Sn+1.

(1)證明:f(n+1)>f(n),
(2)求實數(shù)m的取值范圍,使n>1且n∈N*,f(n)>[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2
恒成立.
分析:(1)由題意可知f(n+1)-f(n)=
1
2n+2
+
1
2n+3
-
1
n+2
=(
1
2n+2
-
1
2n+4
)+(
1
2n+2
-
1
2n+4
)  >0
,由此可以得到f(n+1)>f(n).
(2)由f(x)是關(guān)于n的增函數(shù),可知f(x)min=f(2)=
1
2+2
+
1
2+3
=
9
20
.要使n>1且n∈N*,f(n)>[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2
恒成立.只要
9
20
[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2
成立即可.由此入手能夠推導(dǎo)出實數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)∵Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*),f(n)=S2n+1-Sn+1.

f(n)=
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+1
,
f(n+1)-f(n)=
1
2n+2
+
1
2n+3
-
1
n+2
=(
1
2n+2
-
1
2n+4
)+(
1
2n+2
-
1
2n+4
)  >0
,
∴f(n+1)>f(n).
(2)∵f(n+1)>f(n),∴f(x)是關(guān)于n的增函數(shù),
f(x)min=f(2)=
1
2+2
+
1
2+3
=
9
20

∴要使n>1且n∈N*,f(n)>[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2
恒成立.
只要
9
20
[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2
成立即可.
m>0,m≠1
m-1>0,m-1≠1
得m>1且m≠2.
設(shè)[logm(m-1)]2=t,則t>0,
9
20
>t-
11
20
t>0
,∴0<t<1.
∴0<[logm(m-1)]2<1,
解得m>
1+
5
2
,且m≠2.
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運用,解題時要注意挖掘隱含條件,認真審題,細心解答.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等比數(shù)列{an}的公比為q,Sn是{an}的前n項和.
(1)若a1=1,q≥1,求
lim
n→∞
an
Sn
的值;
(2)若a1=1,|q|<1,Sn有無最值?并說明理由.
(3)設(shè)q=
1
t
,若首項a1和t都是正整數(shù),t滿足不等式:|t-63|<62,且對于任意正整數(shù)n有9<Sn<12成立,問:這樣的數(shù)列{an}有幾個?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
,設(shè)Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)
,n∈N*,且n≥2.
(1)求Sn
(2)已知a1=
2
3
,an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
,(n≥2,n∈N*),數(shù)列{an}的前n項和為Tn,若Tn<λ(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,求λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上的任意兩點,點M(
1
2
,y0)
為線段AB的中點.
(1)求:y0的值.
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-2
n
)+f(
n-1
n
),  (n≥2,且n∈N*)
,求:Sn
(3)在 (2)的條件下,已知an=
2
3
                     (n=1) 
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
 (n≥2)
,記Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn<λ(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,求:λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+an(x-1)n(n≥2,n∈N*
(1)當(dāng)n=5時,求a2的值.
(2)設(shè)Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
a0-1
,求證:
n
2
Sn≤n,n∈N*

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