Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1的右準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線(xiàn)l上，且BC∥x軸?求證直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)線(xiàn)段EF的中點(diǎn)．

Answer 1

分析：欲證直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，分兩類(lèi)討論：①若AB垂直于x軸，②若AB不垂直于x軸，對(duì)于第一種特殊情況比較簡(jiǎn)單，直接驗(yàn)證即可；對(duì)于第二種情況，記A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），求出直線(xiàn)AN，CN的斜率看它們是不是相等，若相等，則可得A、C、N三點(diǎn)共線(xiàn)．即可證得直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)線(xiàn)段EF的中點(diǎn)N．

解答：證明：依設(shè)，得橢圓的半焦距c=1，右焦點(diǎn)為F（1，0），
右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0），
EF的中點(diǎn)為N（

3

2

，0）（3分）
若AB垂直于x軸，
則A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁），
∴AC中點(diǎn)為N（

3

2

，0），
即AC過(guò)EF中點(diǎn)N．
若AB不垂直于x軸，由直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)F，
且由BC∥x軸知點(diǎn)B不在x軸上，
故直線(xiàn)AB的方程為y=k（x-1），k≠0．
記A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），
則C（2，y₂）且x₁，
x₂滿(mǎn)足二次方程

x2

2

+k2(x-1)2=1
即（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2k2

（10分）
又x²₁=2-2y²₁＜2，得x₁-

3

2

≠0，
故直線(xiàn)AN，CN的斜率分別為
k₁=

y1

x1- 3 2

=

2k(x1-1)

2x1-3

k2=

y2

2- 3 2

=2k(x2-1)
∴k₁-k₂=2k•

(x1-1)-(x2-1)(2x1-3)

2x1-3

∵（x₁-1）-（x₂-1）（2x₁-3）=3（x₁+x₂）-2x₁x₂-4
=

1

1+2k2

[12k2-4(k2-1)-4(1+2k2)]=0
∴k₁-k₂=0，即k₁=k₂，故A、C、N三點(diǎn)共線(xiàn)．
所以，直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)線(xiàn)段EF的中點(diǎn)N．（14分）

點(diǎn)評(píng)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等，突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開(kāi)考生“檔次”，有利于選拔的功能