Question

如圖，過拋物線y²=8x的焦點F的直線交拋物線與圓（x-2）²+y²=4于A，B，C，D四點，則|AB|•|CD|=________．

Answer 1

4
分析：由題設條件知，圓心即拋物線的焦點，結合圖形可得出|AB|=|AF|-|BF|=x_A，|CD|=|DF|-|CF|=x_D，即|AB|•|CD|=x_A×x_D，再分直線AB的斜率存在與不存在兩種情況討論即可得出答案
解答：由題意，拋物線y²=8x的焦點F（2，0），圓（x-2）²+y²=4圓心為（2，0），即圓心為焦點
∴|AB|=|AF|-|BF|=x_A，|CD|=|DF|-|CF|=x_D
若直線AD與X軸垂直，此時x_A=x_D=2，故有|AB|•|CD|=x_A×x_D=4
若直線AD與X軸不垂直，此時斜率存在，可設為k，則有l(wèi)_AD：y=k（x-2）
代入拋物線y²=8x整理得k²x²-4（k²+2）+4k²=0
由根與系數的關系得x_A×x_D=4
綜上知x_A×x_D=4，即|AB|•|CD|=4
故答案為4
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，拋物線的性質及圓的標準方程，解題的關鍵是將求|AB|•|CD|的值轉化為求x_A×x_D的值