Question

如圖，拋物線C₁：y²=4x，圓C₂：（x-1）²+y²=1，過拋物線焦點的直線l
交C₁于A，D兩點，交C₂于B，C兩點．
（Ⅰ）若|AB|+|CD|=2|BC|，求直線l的方程；
（Ⅱ）求|AB|•|CD|的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出拋物線的焦點為（1，0），圓的圓心為（1，0），半徑為1．則圓心C₂為拋物線的焦點，由|AB|+|CD|=2|BC|，得|AD|=3|BC|=6．設出直線l：y=k（x-1），聯(lián)立拋物線方程消去y，得到二次方程，由根與系數(shù)的關系得到兩根之和，又由拋物線的定義可得，|AD|=x₁+x₂+2，即可得到k，進而得到直線方程；
（Ⅱ）若l與x軸垂直，則x₁=x₂=1；若l與x軸不垂直，則有根與系數(shù)的關系，得到兩根之積，再由拋物線的定義，即可得到所求的值．

解答： 解：（Ⅰ）拋物線C₁：y²=4x的焦點為（1，0），圓C₂：（x-1）²+y²=1，
圓心為（1，0），半徑為1．則圓心C₂（1，0）為拋物線的焦點，
由|AB|+|CD|=2|BC|，得|AD|=3|BC|=6．
由題易得直線l的斜率存在且不為零，
設直線l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則x1+x2=

2k2+4

k2

，
又由拋物線的定義可得，|AD|=x₁+x₂+2=6，
所以x₁+x₂=

2k2+4

k2

=4，解得k=±

2

，
則有直線l的方程為y=±

2

(x-1)； 
（Ⅱ）若l與x軸垂直，則x₁=x₂=1；
若l與x軸不垂直，則由（Ⅰ）知x1x2=

k2

k2

=1．
所以由拋物線的定義可得，|AB|•|CD|=（x₁+1-1）（x₂+1-1）=x₁x₂=1．

點評：本題考查拋物線的定義、性質(zhì)和方程的運用，考查直線與圓的位置關系，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理解題，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．