Question

設(shè)函數(shù)y=ax-

3

2

x²．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為2，求實(shí)數(shù)a；
（2）若f（x）的最大值不大于

1

6

，且當(dāng)x∈[

1

4

，

1

2

]時(shí)f（x）≥

1

8

，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先把函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，進(jìn)一步求出對稱軸方程利用分類討論思想求出相應(yīng)的結(jié)果．
（2）先利用函數(shù)f（x）的最大值不大于

1

6

求出a的范圍，進(jìn)一步利用分類討論思想求出a的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)y=ax-

3

2

x2=-

3

2

(x-

a

3

)2+

a2

6

．
則：函數(shù)為開口方向向下，對稱軸為x=

a

3

的拋物線．
①當(dāng)1≤

a

3

≤2時(shí)，即3≤a≤6  f(x)max=

a2

6

=2，
解得：a=±2

3

（負(fù)值舍去）；
②當(dāng)

a

3

＞2時(shí)，即a＞6，函數(shù)在區(qū)間[1，2]是增函數(shù)．
則：f（x）_max=f（2）=2a-6=2，
解得：a=4與a＞6矛盾，故舍去．
③當(dāng)

a

3

＜1時(shí)，即a＜3，函數(shù)在區(qū)間[1，2]是減函數(shù)．
則：f(x)max=f(1)=a-

3

2

=2，
解得：a=

7

2

與a＜3矛盾，故舍去．
綜上所述：a=2

3

；
（2）由于f（x）的最大值不大于

1

6

，
所以

a2

6

≤

1

6

即-1≤a≤1，
①當(dāng)

1

4

≤

a

3

≤

1

2

時(shí)，即

3

4

≤a≤

3

2

與-1≤a≤1矛盾，
②當(dāng)

a

3

＞

1

2

即a＞

3

2

與-1≤a≤1矛盾，
③當(dāng)

a

3

＜

1

4

時(shí)，即a＜

3

4

，函數(shù)f(x)max=f(

1

4

)=

a

4

-

3

32

≥

1

8

，
解得：a≥

7

8

；
綜上所述：

7

8

≤a≤1．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：二次函數(shù)的頂點(diǎn)式與一般式的互化，不定對稱軸與定區(qū)間進(jìn)行分類討論，二次函數(shù)的單調(diào)性和最值．