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精英家教網如圖,在一個奧運場館建設現場,現準備把一個半徑為
3
m的球形工件吊起平放到6m高的平臺上,工地上有一個吊臂長DF=12m的吊車,吊車底座FG高1.5m.當物件與吊臂接觸后,鋼索CD長可通過頂點D處的滑輪自動調節(jié)并保持物件始終與吊臂接觸.求物件能被吊車吊起的最大高度,并判斷能否將該球形工件吊到平臺上?
分析:吊車能把球形工件吊上的高度y取決于吊臂的張角設此角為θ,由圖可知y=AB+1.5=AD-OD-OB+1.5,進而可得y關于θ的關系式y(tǒng)=12sinθ-
3
cosθ
-
3
+1.5
,進而求得導函數所以y/=12cosθ-
3
•sinθ
cos2θ
,令y/=0,可得12cosθ=
3
sinθ
cos2θ
,4
3
cos3θ=sinθ
根據同角三角函數的關系,轉化成關于tanθ的關系式,求得tanθ的值,進而求得θ.故可推斷當0°<θ<60°時,y>0,判定y單調遞增,當60°<θ<90°時,y<0,y單調遞減,進而可知θ=60°時,y取最大值,求得此時y≈6.6,進而可斷定吊車能把圓柱形工件吊起平放到6m高的橋墩上.
解答:解:由圖可知,y=AB+1.5=AD-OD-OB+1.5=DFsinθ-
3
cosθ
-
3
+1.5=12sinθ
-
3
cosθ
-
3
+1.5

所以y/=12cosθ-
3
•sinθ
cos2θ

由y/=0,得12cosθ=
3
sinθ
cos2θ
,4
3
cos3θ=sinθ

4
3
=tanθ(1+tan2θ),tan3θ+tanθ-4
3
=0,tan3θ-(
3
)3+tanθ-
3
=0
(tanθ-
3
)(tan2θ-
3
tanθ+4)=0
,
tanθ=
3
,θ=600
,
當0°<θ<60°時,
12cos3θ>
3
2
,
3
sinθ<
3
2
,∴y>0

同理,當60°<θ<90°時,y'<0,
所以當0°<θ<60°時,y單調遞增,當60°<θ<90°時,y單調遞減,
所以θ=60°時,y取最大值.ymax=12sinθ-
3
cosθ
-
3
+1.5=3
3
+1.5≈6.6(m)

所以吊車能把圓柱形工件吊起平放到6m高的橋墩上.
點評:本題主要考查解三角形的實際應用.當涉及最值問題時,可借助函數的單調性來解決.
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