分析 (Ⅰ)設(shè)AC∩BD=O,取BE中點(diǎn)G,連接FG,OG,由已知條件推導(dǎo)出四邊形AFGO是平行四邊形,由此能夠證明AC∥平面BEF.
(Ⅱ)以D為原點(diǎn),以DA為x軸,以DC為y軸,以DE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面ABCD的法向量和平面BEF的法向量,利用向量法能結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)能求出平面BEF與平面ABCD所成角的正切值.
解答 (Ⅰ) 證明:設(shè)AC∩BD=O,取BE中點(diǎn)G,連接FG,OG
∴OG∥DE,且OG=12DE.
∵AF∥DE,DE=2AF,
∴AF∥OG,且OG=AF,
∴四邊形AFGO是平行四邊形,F(xiàn)G∥OA.
∴FG?平面BEF,AO?平面BEF,
∴AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.…(6分)
(Ⅱ)解:∵正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直,∠ADE=90°,
∴以D為原點(diǎn),以DA為x軸,以DC為y軸,以DE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵DE=DA=2AF=2,
∴B(2,2,0),E(0,0,2),F(xiàn)(2,0,1),D(0,0,0),
設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為→n=(x,y,z),
則{−2x+z=02y−z=0,
令x=1,則y=1,z=2,→n=(1,1,2),
設(shè)平面ABCD與平面BEF所成二面角的平面角為α,由條件知α是銳角
平面ABCD的法向量可取為(0,0,1),
所以cosα=|21•√6=√63,所以tanα=√22即為所求.
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的證明,考查平面與平面所成角的正切值的求法,解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | 18 | B. | 14 | C. | 38 | D. | 12 |
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A. | z>10 | B. | z≤10 | C. | z>20 | D. | z≤20 |
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A. | ab>b2 | B. | \frac{1}{a}>\frac{1} | C. | \frac{1}{a}<\frac{1} | D. | a2>ab |
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