Question

18．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；  
（Ⅱ）若b_n=（a_n+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用S_n與a_n的關(guān)系：當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1；結(jié)合已知條件等式推出數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，由此求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）首先結(jié)合（Ⅰ）求得b_n的表達式，然后利用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁，有2$\sqrt{{a}_{1}}$=a₁+1，解得a₁=1；
當n≥2時，由2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1得4S_n=a_n²+2a_n+1，4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1+1，
兩式相減得4a_n=a_n²-a_n-1²+2（a_n-a_n-1），
所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
因為數(shù)列{a_n}的各項為正，所以a_n-a_n-1-2=0，
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=（a_n+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$=2n•2^2n-1=n•4ⁿ．
所以前n項和T_n=1•4+2•4²+3•4³+…+n•4ⁿ，
4T_n=1•4²+2•4³+3•4⁴+…+n•4ⁿ⁺¹，
兩式相減得-3T_n=4+4²+4³+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n•4ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=$\frac{4}{9}$+$\frac{3n-1}{9}$•4ⁿ⁺¹．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列的遞推式：當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1；考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，同時考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．