Question

已知a＜b＜0，奇函數(shù)f（x）的定義域為[a，-a]，在區(qū)間[-b，-a]上單調(diào)遞減且f（x）＞0，則在區(qū)間[a，b]上（ ）
A．f （x）＞0且|f （x）|單調(diào)遞減
B．f （x）＞0且|f （x）|單調(diào)遞增
C．f （x）＜0且|f （x）|單調(diào)遞減
D．f （x）＜0且|f （x）|單調(diào)遞增

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，得到區(qū)間[a，b]上的單調(diào)性與區(qū)間[-b，-a]上相同，從而得到f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值f（a）負數(shù)，則所有值都為負數(shù)．最后根據(jù)y=|f（x）|的圖象與y=f（x）圖象關(guān)于x軸對稱，得函數(shù)y=|f（x）|的單調(diào)性y=f（x）相反，在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)．
解答：解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱
∴函數(shù)f（x）在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性
∵f（x）在區(qū)間[-b，-a]上單調(diào)遞減
∴f（x）在區(qū)間[a，b]上也是單調(diào)遞減函數(shù)
∵在區(qū)間[-b，-a]上f（x）＞0，
∴函數(shù)的最小值f（-a）＞0，可得-f（a）＞0，即f（a）＜0，
因此，f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值f（a）負數(shù)，
∴f（x）＜0在區(qū)間[a，b]上恒成立
∵f（x）＜0，且f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)y=|f（x）|的圖象與y=f（x）圖象關(guān)于x軸對稱，
由此可得函數(shù)y=|f（x）|的單調(diào)性y=f（x）相反，在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)．
故選：D
點評：本題給出奇函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)性和符號，要我們探索其在對稱的區(qū)間上的單調(diào)性和符號．著重考查了函數(shù)單調(diào)性、奇偶性及其相互關(guān)系等知識，屬于中檔題．