分析:(1)由
Sn=nan+2-,可遞推
Sn-1=(n-1)an-1+2-,兩式作差得a
n-a
n-1=1進(jìn)而得到通項(xiàng)公式.
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明,先由證當(dāng)n=2時(shí),不等式成立.再假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N
+)時(shí),不等式成立,遞推到當(dāng)n=k+1時(shí)成立即可.
解答:解:(1)當(dāng)n≥3時(shí),
Sn=nan+2-,
Sn-1=(n-1)an-1+2-,
可得:
an=nan-(n-1)an-1-×2∴a
n-a
n-1=1(n≥3,n∈N
+).
∵a
1+a
2=2a
2+2-1,∴a
2=3
可得,
an=(2)①當(dāng)n=2時(shí),b
2=b
12-2=14>3=a
2,不等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N
+)時(shí),不等式成立,即b
k>k+1
那么,當(dāng)n=k+1時(shí),b
k+1=b
k2-(k-1)b
k-2=b
k(b
k-k+1)-2>2b
k-2>2(k+1)-2=2k≥k+2
所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.
根據(jù)①,②可知,當(dāng)n≥2,n∈N+時(shí),b
n>a
n.
點(diǎn)評:本題主要考查由數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系來求數(shù)列的通項(xiàng)公式,要注意分類討論,還考查了用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,要注意兩點(diǎn),一是遞推基礎(chǔ)不能忽視,二是遞推時(shí)要變形,符合假設(shè)的模型.