Question

【題目】已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1＝1，公比q>0，其前n項(xiàng)和為Sn，且S1＋a1，S3＋a3，S2＋a2成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{bn}滿足an＋1＝，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若Tn≥m恒成立，求m的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)1.

【解析】試題分析：

(1)由題意可知2(S3＋a3)＝(S1＋a1)＋(S2＋a2)，據(jù)此整理計(jì)算可得： ，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

(2)由題意結(jié)合和(1)中求得的通項(xiàng)公式可得，錯(cuò)位相減有Tn＝1＋(n－1)2n.則原問題等價(jià)于(Tn)min≥m.結(jié)合數(shù)列{Tn}為遞增數(shù)列可得m的最大值為1.

試題解析：

(1)由題意可知

2(S3＋a3)＝(S1＋a1)＋(S2＋a2)，

∴S3－S1＋S3－S2＝a1＋a2－2a3，

即4a3＝a1，

于是，∵q>0，∴.

∵a1＝1，∴ .

(2)∵an＋1＝()anbn，

∴()n＝()anbn，∴，

∴，①

∴，②

∴①－②得－Tn＝1＋2＋22＋…＋－n·2n＝－n·2n＝(1－n)2n－1，

∴Tn＝1＋(n－1)2n.

要使Tn≥m恒成立，

只需(Tn)min≥m.

∵Tn＋1－Tn＝n·2n＋1－(n－1)·2n＝(n＋1)·2n>0，

∴{Tn}為遞增數(shù)列，

∴當(dāng)n＝1時(shí)，(Tn)min＝1，

∴m≤1，∴m的最大值為1.