Question

考察下列一組不等式：2³+5³＞2²•5+2•5²，2⁴+5⁴＞2³•5+2•5³，2⁵+5⁵＞2³•5²+2²•5³，…．將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是

2ⁿ+5ⁿ＞2^n-k5^k+2^k5^n-k，n≥3，1≤k≤n

．

Answer 1

分析：題目中的式子變形得2²⁺¹+5²⁺¹＞2²•5¹+2¹•5²（1）2³⁺¹+5³⁺¹＞2³•5¹+2¹•5³（2）觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)指數(shù)滿足的條件，可類比得到2^m+n+5^m+n＞2^m5ⁿ+2ⁿ5^m，使式子近一步推廣得2ⁿ+5ⁿ＞2^n-k5^k+2^k5^n-k，n≥3，1≤k≤n

解答：解：2²⁺¹+5²⁺¹＞2²•5¹+2¹•5²（1）
2³⁺¹+5³⁺¹＞2³•5¹+2¹•5³（2）
觀察（1）（2）（3）式指數(shù)會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，
則推廣的不等式可以是：2ⁿ+5ⁿ＞2^n-k5^k+2^k5^n-k，n≥3，1≤k≤n
故答案為：2ⁿ+5ⁿ＞2^n-k5^k+2^k5^n-k，n≥3，1≤k≤n．

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．