Question

己知f（x）=Inx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=-1時，證明函數(shù)f（x）只有一個零點(diǎn)；
（Ⅲ）f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0），兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為C（x₀，0），求證：f′（x₀）＜0．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意：f（x）=lnx+x²-bx
f（x）在（0，+∞）上遞增，∴≥0對x∈（0，+∞）恒成立
即對x∈（0，+∞）恒成立，只需 …（2分）
∵x＞0， 當(dāng)且僅當(dāng)時取=
∴
∴b的取值范圍為 …（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=-1時，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞）
∴=…（6分）
∴0＜x＜1時，f′（x）＞0當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-1+1=0
當(dāng)x≠1時，f（x）＜f（1）=0即
∴函數(shù)f（x）只有一個零點(diǎn) …（8分）
（Ⅲ）由已知得 兩式相減，得

由及2x₀=x₁+x₂，得
==

==…（10分）
令∈（0，1）且（0＜t＜1）
∴
∴∅（t）在（0，1）上遞減，∴∅（t）＞∅（1）=0
x₁＜x₂，f′（x₀）＜0（12分）
分析：（Ⅰ）依題意可得f（x）=lnx+x²-bx，由f（x）在定義域（0，+∞）上遞增，可得≥0對x∈（0，+∞）恒成立，即對x∈（0，+∞）恒成立，只需
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=-1時，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），
對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的知識判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1），（1，+∞）上單調(diào)性可知
當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-1+1=0，當(dāng)x≠1時，f（x）＜f（1）=0即函數(shù)f（x）只有一個零點(diǎn)
（Ⅲ）由已知得 兩式相減，得

由及2x₀=x₁+x₂，得
=，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識可證明
點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的結(jié)合是導(dǎo)數(shù)最為基本的考查，而函數(shù)的恒成立問題常轉(zhuǎn)化為利用相關(guān)知識求解函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，還考查了運(yùn)用基本知識進(jìn)行推理論證的能力