Question

    如圖，在四棱錐P-ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥CD，AB= 2AD =2CD =2．E是PB的中點．

   （I）求證；平面EAC⊥平面PBC;

   （II）若二面角P-AC-E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

解：

（I）∵PC⊥平面ABCD，AC^平面ABCD，∴AC⊥PC，

∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝，

∴AC²＋BC²＝AB²，∴AC⊥BC，

又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，

∵AC^平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．                          

(II)如圖，以C為原點，、、分別為x軸、y軸、z軸正向，建立空間直角坐標系，則C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．

設P(0，0，a)（a＞0），則E(，－，)，    

＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，

＝(，－，)，

取m＝(1，－1，0)，則

m·＝m·＝0，m為面PAC的法向量．

設n＝(x，y，z)為面EAC的法向量，則n·＝n·＝0，

即取x＝a，y＝－a，z＝－2，則n＝(a，－a，－2)，

依題意，|cosm，n|＝＝＝，則a＝1． 

于是n＝(1，－1，－2)，＝(1，1，－2)．

設直線PA與平面EAC所成角為θ，

則sinθ＝|cos，n|＝，

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．