Question

（2012•瀘州一模）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)同時(shí)報(bào)名參加某重點(diǎn)高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序?yàn)槊嬖嚭臀幕瘻y(cè)試，只有面試通過(guò)后才能參加文化測(cè)試，文化測(cè)試合格者即獲得自主招生入選資格．因?yàn)榧住⒁�、丙三人各有�?yōu)勢(shì)，甲、乙、丙三人面試通過(guò)的概率分別為0.5，0.6，0.4；面試通過(guò)后，甲、乙、丙三人文化測(cè)試合格的概率分別為0.6，0.5，0.75．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人中只有一人通過(guò)面試的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人各自獲得自主招生入選資格的概率．
（Ⅲ）求甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，甲、乙、丙三人中只有一人通過(guò)包括三種情況，這三種情況是互斥的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率寫(xiě)出每一種情況發(fā)生的概率，得到結(jié)果．
（Ⅱ）根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，可求甲、乙、丙三人各自獲得自主招生入選資格的概率；
（Ⅲ）甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數(shù)為ξ，ξ的可能取值是0，1，2，3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，寫(xiě)出變量的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，甲、乙、丙三人中只有一人通過(guò)包括三種情況，這三種情況是互斥的，
分別記甲、乙、丙通過(guò)審核為事件A₁，A₂，A₃，則
P=P（A₁•

.

A2

•

.

A3

）+P（

.

A1

•A₂•

.

A3

）+P（

.

A1

•

.

A2

•A₃）=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38
（Ⅱ）∵甲、乙、丙三人面試通過(guò)的概率分別為0.5，0.6，0.4；面試通過(guò)后，甲、乙、丙三人文化測(cè)試合格的概率分別為0.6，0.5，0.75，
∴甲獲得自主招生入選資格的概率為0.5×0.6=0.3；
乙獲得自主招生入選資格的概率為0.6×0.5=0.3
丙獲得自主招生入選資格的概率為0.4×0.75=0.3
（Ⅲ）甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數(shù)為ξ，ξ的可能取值是0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-0.3）³=0.343；P（ξ=1）=3×（1-0.3）²×0.3=0.441；P（ξ=2）=3×0.3²×0.7=0.189
P（ξ=3）=0.3³=0.027
∴ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

∴E（ξ）=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題．