Question

已知函數(shù)f(x)=

x

1+x

．設數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）已知數(shù)列{b_n}滿足b1=

1

2

，bn+1=(1+bn)2f(bn)(n∈N+)，求證：對一切正整數(shù)n≥1都有

1

a1+b1

+

1

2a2+b2

+…+

1

nan+bn

＜2．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

x

1+x

，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）知：an+1=

an

an+1

，由此能求出an=

1

n

．
（2）由b_n+1=（1+b_n）²•

bn

1+bn

，知b_n+1=b_n（b_n+1），故

1

nan+bn

=

1

bn

-

1

bn+1

，由此利用裂項求法能夠證明對一切正整數(shù)n≥1都有

1

a1+b1

+

1

2a2+b2

+…+

1

nan+bn

＜2．

解答：（1）解：∵f(x)=

x

1+x

，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊），
∴an+1=

an

an+1

，…1分

1

an+1

=

an+1

an

，…..3分

1

an+1

-

1

an

=1，…5分
∴{

1

an

}是以

1

a1

為首項，1為公差的等差數(shù)列，
即

1

an

=1+(n-1)×1=n，
∴an=

1

n

．…6分
（2）證明：由已知得b_n+1=（1+b_n）²•

bn

1+bn

，
∴b_n+1=b_n（b_n+1），顯然b_n∈（0，+∞），…7分
∴

1

nan+bn

=

1

1+bn

=

bn

bn+1

=

bn2

bnbn+1

=

bn+1-bn

bnbn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

，…9分
∴

1

a1+b1

+

1

2a2+b2

+…+

1

nan+bn

=（

1

b1

-

1

b2

）+（

1

b2

-

1

b3

）+…+（

1

bn

-

1

bn+1

）
=

1

b1

-

1

bn+1

=2-

1

bn+1

＜2．…11分
所以，對一切正整數(shù)n≥1都有

1

a1+b1

+

1

2a2+b2

+…+

1

nan+bn

＜2．…12分

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法和不等式的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意裂項求和法的合理運用．